ΓΙΑ ΝΑ ΑΚΟΝΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΜΥΑΛΟ ΜΑΣ ΜΕ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

ΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗ Δ. ΛΥΡΑ 
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

Έχω δύο φορές την ηλικία που είχες όταν εγώ είχα την ηλικία που έχεις. Και όταν θα έχεις την ηλικία που έχω, το άθροισμα των ηλικιών μας  είναι 63.
***Ποιες είναι οι ηλικίες μας;

Λύση

 ***Το πρόβλημα είναι του Γιάννη Ρήγα,πολιτικού μηχανικού, από ΜΕΡΟΠΗ ΜΕΣΣΗΝΙΑΣ και η λύση γίνεται με την άλγεβρα, και η άλλη με πρακτική αριθμητική του Γιάννη Δ. Λυρα . Οι αναλυτικές διαφορετικές λύσεις θα αναρτηθούν την Κυριακή 15-1-2017, κάτω από το πρόβλημα.

Οι ηλικίες είναι 28 και 35.

 Έστω χ ετών ο μεγαλύτερος και ψ ο μικρότερος. Ο μεγαλύτερος είχε την ηλικία του μικρότερου πριν από (χ-ψ) έτη επειδή χ-(χ-ψ)=ψ και, συνεπώς, η ηλικία του μικρότερου θα ήταν ψ-(χ-ψ)=2ψ-χ έτη. Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι μετά από (χ-ψ) έτη ο μικρότερος θα έχει την ηλικία του μεγαλύτερου, δηλαδή χ ετών, ενώ ο μεγαλύτερος θα έχει ηλικία χ+(χ-ψ)=2χ-ψ ετών. Επομένως έχουμε τις εξισώσεις:

χ=2(ψ-(χ-ψ)) ή χ=2(2ψ-χ)  ή 3χ-4ψ=0 (1)

(χ+(χ-ψ))+χ=63 ή 3χ-ψ=63                  (2)

Από το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) έχουμε: χ=28 και ψ=21

Επαλήθευση

Πριν από χ-ψ=28-21=7 έτη ο μικρότερος είχε ηλικία 21-7=14 και, συνεπώς, ισχύει η σχέση: 28=2Χ14

Μετά από χ-ψ=7 έτη ο μεγαλύτερος θα είναι 28+7=35 και ο μικρότερος 21+7=28, δηλαδή ισχύει η σχέση: 35+28=63 ο.έ.δ.
***Το πρόβλημα και η λύση είναι του Γιάννη Ρήγα,πολιτικού μηχανικού, από ΜΕΡΟΠΗ ΜΕΣΣΗΝΙΑΣ.
Η δεύτερη λύση είναι του εκπαιδευτικού Γιάννη Δ. Λύρα.
Αναλύουμε το 63 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
63=21.3=9.7=5.7+4.7=35+28 (πολλαπλάσιο του 9)=3.9+4.9=27+36(πολλαπλάσιο του 7)=21.3. Με βάση  τα δεδομένα του προβλήματος είναι πολλαπλάσιο του 7, δηλαδή ισχύει η πρώτη ισότητα 63=5.7+4.7=35+28.
35-7=28 και 28-7=21,και 21-7=14. 28=2.14 ΚΑΙ 63-28=35.